【題目】已知橢圓為參數(shù)）, 是上的動點，且滿足為坐標原點)，以原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立坐標系，點的極坐標為.

（1）求線段的中點的軌跡的普通方程；

（2）利用橢圓的極坐標方程證明為定值，并求面積的最大值.

【答案】（1）（2）最大值.

【解析】試題分析：（1）將的極坐標轉(zhuǎn)化為平面直角坐標，由橢圓的參數(shù)方程，可設(shè)點的坐標，利用中點坐標得出點坐標，消去參數(shù)可得軌跡的普通方程；（2）將橢圓的普通方程化為極坐標方程，可設(shè)兩點的極坐標，由題中所給，可得結(jié)論．

試題解析：（1）點的直角坐標為，由題意可設(shè)點的坐標為參數(shù)，

則線段的中點的坐標為，

所以點的軌跡的參數(shù)方程為為參數(shù)）

消去可得的普通方程為.

（2）橢圓的普通方程為，化為極坐標方程得，

變形得，

由，不妨設(shè)，所以

（定值），

易知當時， 取得最大值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了增強環(huán)保意識，某社團從男生中隨機抽取了60人，從女生中隨機抽取了50人參加環(huán)保知識測試，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

總計

男生

40

20

60

女生

20

30

50

總計

60

50

110

（1）試判斷是否有99%的把握認為環(huán)保知識是否優(yōu)秀與性別有關(guān)；

（2）為參加市舉辦的環(huán)保知識競賽，學(xué)校舉辦預(yù)選賽，現(xiàn)在環(huán)保測試優(yōu)秀的同學(xué)中選3人參加預(yù)選賽，已知在環(huán)保測試中優(yōu)秀的同學(xué)通過預(yù)選賽的概率為，若隨機變量表示這3人中通過預(yù)選賽的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．

附:＝

0．500

0．400

0．100

0．010

0．001

0．455

0．708

2．706

6．635

10．828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)．如圖是函數(shù)圖象的一部分，當0≤x≤2時，是線段OA；當x＞2時，圖象是頂點為P(3，4)的拋物線的一部分．

(1)在圖中的直角坐標系中畫出函數(shù)f(x)的圖象；

(2)求函數(shù)f(x)在[2，＋∞)上的解析式；

(3)寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知f(x＋4)＋f(x－1)＝x2－2x，其中f(x)是二次函數(shù)，求函數(shù)f(x)的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)在上的最大值；

（2）令，若在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；

（3）當時，函數(shù)的圖象與軸交于兩點，且，又是的導(dǎo)函數(shù).若正常數(shù)滿足條件.試比較與0的關(guān)系，并給出理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了讓貧困地區(qū)的孩子們過一個溫暖的冬天，某校陽光志愿者社團組織“這個冬天不再冷”冬衣募捐活動，共有50名志愿者參與.志愿者的工作內(nèi)容有兩項：①到各班做宣傳，倡議同學(xué)們積極捐獻冬衣；②整理、打包募捐上來的衣物.每位志愿者根據(jù)自身實際情況，只參與其中的某一項工作.相關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：

（1）如果用分層抽樣的方法從參與兩項工作的志愿者中抽取5人，再從這5人中選2人，那么“至少有1人是參與班級宣傳的志愿者”的概率是多少？

（2）若參與班級宣傳的志愿者中有12名男生，8名女生，從中選出2名志愿者，用表示所選志愿者中的女生人數(shù)，寫出隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況.在一般情況下，大橋上的車流速度(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù).當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明：當時，車流速度是車流密度x的一次函數(shù).

①當時，求函數(shù)的表達式.

②當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時)可以達到最大，并求出最大值(精確到1輛/小時).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的反函數(shù)為， ．

（1）求的解析式，并指出的定義域；

（2）判斷的奇偶性，并說明理由；

（3）設(shè)，解關(guān)于的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)“喜歡空間想象”與“性別”有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗證此結(jié)論，從全體組員中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)（男生30人、女生20人），給每位同學(xué)立體幾何題、代數(shù)題各一道，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進行解答，選題情況統(tǒng)計如下表：（單位：人）

立體幾何題

代數(shù)題

總計

男同學(xué)

22

8

30

女同學(xué)

8

12

20

總計

30

20

50

（1）能否有97.5%以上的把握認為“喜歡空間想象”與“性別”有關(guān)？

（2）經(jīng)統(tǒng)計得，選擇做立體幾何題的學(xué)生正答率為，且答對的學(xué)生中男生人數(shù)是女生人數(shù)的5倍，現(xiàn)從選擇做立體幾何題且答錯的學(xué)生中任意抽取兩人對他們的答題情況進行研究，求恰好抽到男女生各一人的概率．

附表及公式：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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