Question

11．已知p：方程x²-2x+$\frac{1}{2}$m=0有實(shí)數(shù)根，q：方程$\frac{{x}^{2}}{m+3}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，若p且q為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出關(guān)于p，q成立的m的范圍，根據(jù)p且q為真命題，得到關(guān)于m的不等式組，解出即可．

解答 解：若p為真，即方程${x^2}-2x+\frac{1}{2}m=0$有解，
∴4-2m≥0，即m≤2…（3分）
若q為真，即$\frac{x^2}{m+3}+\frac{y^2}{4}=1$表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，
∴m+3＞4，即m＞1…（6分）
因?yàn)閜且q為真，所以p和q都為真，…（8分）
∴$\left\{\begin{array}{l}m≤2\\ m＞1\end{array}\right.$，解得1＜m≤2，
∴m∈（1，2]．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合命題的判斷，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及橢圓的性質(zhì)，是一道中檔題．