Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=．
（1）求證BC⊥SC；
（2）求面ASD與面BSC所成二面角的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)三垂線定理即可證得BC⊥SC；
（2）把四棱錐S-ABCD補形為長方體A₁B₁C₁S-ABCD，面ASD與面BSC所成的二面角就是面ADSA₁與面BCSA₁所成的二面角，∠CSD為所求二面角的平面角，在三角形CSD中解出此角．
解答：（1）證明：如圖1
∵底面ABCD是正方形；
∴BC⊥DC；
∵SD⊥底面ABCD；
∴DC是SC在平面ABCD上的射影
由三垂線定理得BC⊥SC

（2）解：∵SD⊥底面ABCD，且ABCD為正方形，
∴可以把四棱錐S-ABCD補形為長方體A₁B₁C₁S-ABCD，如圖2
面ASD與面BSC所成的二面角就是面ADSA₁與面BCSA₁所成的二面角，
∵SC⊥BC，BC∥A₁S
∴SC⊥A₁S
又SD⊥A₁S，
∴∠CSD為所求二面角的平面角
在Rt△SCB中，由勾股定理得在Rt△SDC中，
由勾股定理得SD=1，
∴∠CSD=45°即面ASD與面BSC所成的二面角為45°
點評：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系等基本知識，異面直線及其所成的角，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力．