Question

已知雙曲線

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點分別為F₁、F₂，以線段F₁F₂為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為（4，3），則此雙曲線的方程為（　　）

• A、

  y2

  9

  -

  x2

  16

  =1
• B、

  y2

  4

  -

  x2

  3

  =1
• C、

  y2

  16

  -

  x2

  9

  =1
• D、

  y2

  3

  -

  x2

  4

  =1

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由已知條件推導(dǎo)出以|F₁F₂|為直徑的圓的方程為x²+y²=c²，且

16+9=c2 3= a b ×4

，由此能求出雙曲線的方程．

解答： 解：∵雙曲線

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，
∴以|F₁F₂|為直徑的圓的方程為x²+y²=c²，
∵以|F₁F₂|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為（4，3），
∴

16+9=c2 3= a b ×4

，解得a=3，b=4，
∴雙曲線的方程為

y2

9

-

x2

16

=1．
故選：A．

點評：本題考查雙曲線的及圓的有關(guān)知識，求解的關(guān)鍵是借助圓與雙曲線的漸近線的交點得出a，b，c的等量關(guān)系，是比較基礎(chǔ)的題．