Question

如圖：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O、O₁分別是AC、A₁C₁的中點，E是線段D₁O上一點，且D₁E=λEO（λ≠0）．
（Ⅰ）求證：λ取不等于0的任何值時都有BO₁∥平面ACE；
（Ⅱ）λ=2時，證明：平面CDE⊥平面CD₁O．

Answer 1

【答案】分析：（I）證明四邊形D₁O₁BO是平行四邊形，可得BO₁∥OE，利用線面平行的判定定理，可得結論；
（II）求出平面CD₁O的一個法向量、平面CDE的法向量，證明，可得平面CDE⊥平面CD₁O．
解答：證明：（I）由題意，O、O₁分別是AC、A₁C₁的中點，
∴四邊形D₁O₁BO是平行四邊形，
∴BO₁∥OD₁
∴BO₁∥OE
∵OE?平面ACE，BO₁?平面ACE，
∴λ取不等于0的任何值時都有BO₁∥平面ACE；
（Ⅱ）不妨設正方體的棱長為1，以DA，DC，DD₁為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則可得D（0，0，0），B₁（1，1，1），O，C（0，1，0），D₁（0，0，1）
∴=（1，1，1），=（0，-1，1），=
∴，=0
∴DB₁⊥CD₁，DB₁⊥OC
∴平面CD₁O的一個法向量為=（1，1，1），
∵λ=2，∴E（）
又設平面CDE的法向量為=（x，y，z）
∵=（0，1，0），=（）
∴
∴可取=（1，0，-1）
∴
∴平面CDE⊥平面CD₁O．
點評：本題在正方體中研究線面平行和面面垂直的問題，考查了利用空間坐標系研究空間的垂直問題等知識點，屬于中檔題．