Question

11．關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程x²+px+2=0的兩個(gè)虛數(shù)根為z₁、z₂，若z₁、z₂在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意兩個(gè)虛數(shù)根z₁，z₂是共軛復(fù)數(shù)，可得橢圓的短軸長(zhǎng)：2b=|z₁+z₂|=|p|，焦距為2c=|z₁-z₂|，然后求出長(zhǎng)軸長(zhǎng)．

解答 解：因?yàn)閜為實(shí)數(shù)，p≠0，z₁，z₂為虛數(shù)，
所以p²-4×2＜0，即p²＜8，
解得-2$\sqrt{2}$＜p＜2$\sqrt{2}$．
由z₁，z₂為共軛復(fù)數(shù)，知Z₁，Z₂關(guān)于x軸對(duì)稱，
所以橢圓短軸在x軸上，又由橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
可知原點(diǎn)為橢圓短軸的一端點(diǎn)，
根據(jù)橢圓的性質(zhì)，復(fù)數(shù)加，減法幾何意義及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，
可得橢圓的短軸長(zhǎng)=2b=|z₁+z₂|=|p|，
焦距2c=|z₁-z₂|=$\sqrt{8-{p}^{2}}$，
長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=$\sqrt{8-{p}^{2}+{p}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，橢圓的基本性質(zhì)，是小型綜合題，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．