【題目】已知橢圓 ： （ ）的離心率 ，直線 被以橢圓 的短軸為直徑的圓截得的弦長為 .

（1）求橢圓 的方程；

（2）過點 的直線 交橢圓于 ， 兩個不同的點，且 ，求 的取值范圍.

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：

（1）由直線與圓的位置關(guān)系可得.由橢圓的離心率可得，則橢圓的方程為.

（2）當直線的斜率為時， ，當直線的斜率不為時，設(shè)直線在y軸上的截距式方程為， ， ，聯(lián)立方程可得，滿足題意時，結(jié)合韋達定理可知，據(jù)此可知.綜上可得.

試題解析：

（1）因為原點到直線的距離為，

所以（），解得.

又，得

所以橢圓的方程為.

（2）當直線的斜率為時， ，

當直線的斜率不為時，設(shè)直線： ， ， ，

聯(lián)立方程組，得，

由，得，

所以，

，

由，得，所以.

綜上可得： ，即.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了進一步推動全市學習型黨組織、學習型社會建設(shè)，某市組織開展“學習強國”知識測試，每人測試文化、經(jīng)濟兩個項目，每個項目滿分均為60分.從全體測試人員中隨機抽取了100人，分別統(tǒng)計他們文化、經(jīng)濟兩個項目的測試成績，得到文化項目測試成績的頻數(shù)分布表和經(jīng)濟項目測試成績的頻率分布直方圖如下：

經(jīng)濟項目測試成績頻率分布直方圖

分數(shù)區(qū)間

頻數(shù)

2

3

5

15

40

35

文化項目測試成績頻數(shù)分布表

將測試人員的成績劃分為三個等級如下：分數(shù)在區(qū)間內(nèi)為一般，分數(shù)在區(qū)間內(nèi)為良好，分數(shù)在區(qū)間內(nèi)為優(yōu)秀.

（1）在抽取的100人中，經(jīng)濟項目等級為優(yōu)秀的測試人員中女生有14人，經(jīng)濟項目等級為一般或良好的測試人員中女生有34人.填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有以上的把握認為“經(jīng)濟項目等級為優(yōu)秀”與性別有關(guān)？

優(yōu)秀

一般或良好

合計

男生數(shù)

女生數(shù)

合計

（2）用這100人的樣本估計總體，假設(shè)這兩個項目的測試成績相互獨立.

（i）從該市測試人員中隨機抽取1人，估計其“文化項目等級高于經(jīng)濟項目等級”的概率.

（ii）對該市文化項目、經(jīng)濟項目的學習成績進行評價.

附：

0.150

0.050

0.010

2.072

3.841

6.635

.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在長方體中，，點E是棱上的一個動點，若平面交棱于點，給出下列命題：

①四棱錐的體積恒為定值；

②存在點，使得平面；

③對于棱上任意一點，在棱上均有相應(yīng)的點，使得平面；

④存在唯一的點，使得截面四邊形的周長取得最小值.

其中真命題的是____________．（填寫所有正確答案的序號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某工廠對一批產(chǎn)品進行了抽樣檢測.如圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重(單位：克)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96,106]，樣本數(shù)據(jù)分組為[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36.

(1)求樣本容量及樣本中凈重大于或等于96克并且小于102克的產(chǎn)品的個數(shù)；

(2)已知這批產(chǎn)品中每個產(chǎn)品的利潤y(單位：元)與產(chǎn)品凈重x(單位：克)的關(guān)系式為求這批產(chǎn)品平均每個的利潤.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四邊形ABCD是矩形，平面DCC1D1⊥平面ABCD.AD=3，CD=DD1=5，∠D1DC=120°，M，N分別是線段AD1，BD的中點.

（1）求證：MN//平面DCC1D1；

（2）求證：MN⊥平面ADC1；

（3）求三棱錐D1﹣ADC1的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校工會開展健步走活動，要求教職工上傳3月1日至3月7日微信記步數(shù)信息，下圖是職工甲和職工乙微信記步數(shù)情況：

（Ⅰ）從3月1日至3月7日中任選一天，求這一天職工甲和職工乙微信記步數(shù)都不低于10000的概率；

（Ⅱ）從3月1日至3月7日中任選兩天，記職工乙在這兩天中微信記步數(shù)不低于10000的天數(shù)為，求 的分布列及數(shù)學期望；

（Ⅲ）如圖是校工會根據(jù)3月1日至3月7日某一天的數(shù)據(jù)，制作的全校200名教職工微信記步數(shù)的頻率分布直方圖．已知這一天甲和乙微信記步數(shù)在單位200名教職工中排名分別為第68和第142，請指出這是根據(jù)哪一天的數(shù)據(jù)制作的頻率分布直方圖（不用說明理由）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】定義集合與集合之差是由所有屬于且不屬于的元素組成的集合，記作 且．已知集合．

（Ⅰ）若集合，寫出集合的所有元素；

（Ⅱ）從集合選出10個元素由小到大構(gòu)成等差數(shù)列，其中公差的最大值和最小值分別是多少？公差為和的等差數(shù)列各有多少個？

（Ⅲ）設(shè)集合,且集合中含有10個元素，證明：集合中必有10個元素組成等差數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】己知兩點，，動點P在y軸上的攝影是H，且，

（1）求動點P的軌跡方程；

（2）設(shè)直線，的兩個斜率存在，分別記為，，若，求點P的坐標；

（3）若經(jīng)過點的直線l與動點P的軌跡有兩個交點為T、Q，當時，求直線l的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】《復仇者聯(lián)盟4：終局之戰(zhàn)》是安東尼·羅素和喬·羅素執(zhí)導的美國科幻電影，改編自美國漫威漫畫，自2019年4月24日上映以來票房火爆.某電影院為了解在該影院觀看《復仇者聯(lián)盟4》的觀眾的年齡構(gòu)成情況，隨機抽取了100名觀眾的年齡，并分成，，，，，，七組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求這100名觀眾年齡的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）、中位數(shù)；

（2）該電影院擬采用抽獎活動來增加趣味性，觀眾可以選擇是否參與抽獎活動（不參與抽獎活動按原價購票），活動方案如下：每張電影票價格提高10元，同時購買這樣電影票的每位觀眾可獲得3次抽獎機會，中獎1次則獎勵現(xiàn)金元，中獎2次則獎勵現(xiàn)金元，中獎三次則獎勵現(xiàn)金元，其中且，已知觀眾每次中獎的概率均為.

①以某觀眾三次抽獎所獲得的獎金總額的數(shù)學期望為評判依據(jù)，若要使抽獎方案對電影院有利，則最高可定為多少；

②據(jù)某時段內(nèi)的統(tǒng)計，當時該電影院有600名觀眾選擇參加抽獎活動，并且每增加1元，則參加抽獎活動的觀眾增加100人.設(shè)該時間段內(nèi)觀影的總?cè)藬?shù)不變，抽獎活動給電影院帶來的利潤的期望為，求的最大值.

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