已知橢圓C:+=1(a>b>0),兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1和F2,斜率為k的直線l過右焦點(diǎn)F2且與橢圓交于A、B兩點(diǎn),設(shè)l與y軸交點(diǎn)為P,線段PF2的中點(diǎn)恰為B.若|k|≤,求橢圓C的離心率的取值范圍.
【答案】分析:設(shè)橢圓離心率為e,設(shè)F2的坐標(biāo)為(c,0),設(shè)l的方程為y=kx+m,則可求得l與y軸的交點(diǎn),進(jìn)而求得B點(diǎn)坐標(biāo),帶橢圓方程求得e和k的關(guān)系式,進(jìn)而根據(jù)k的范圍得出關(guān)于e的不等式,求得e的范圍.
解答:解:設(shè)橢圓離心率為e,設(shè)F2的坐標(biāo)為(c,0),其中c2=a2-b2
設(shè)l的方程為y=kx+m,則l與y軸的交點(diǎn)為(0,m),m=-kc,
所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為(,-),將B點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得+•k2=4,即e2+=4,
所以k2=(4-e2)•(-1)≤,即5e4-29e2+20≤0,解之可得,≤e2≤5,
又有橢圓的性質(zhì),所以≤e<1,
因此橢圓C的離心率取值范圍為[,1).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).解題的關(guān)鍵是充分挖掘題目的隱含條件,尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化.
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已知橢圓C:+y2=1,則與橢圓C關(guān)于直線y=x成軸對(duì)稱的曲線的方程是____________.

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已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,過F2線與圓x2+y2=b2相切于點(diǎn)A,并與橢圓C交與不同的兩點(diǎn)P,Q,如圖,PF1⊥PQ,若A為線段PQ的靠近P的三等分點(diǎn),則橢圓的離心率為( )
A.
B.
C.
D.

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 如圖,已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F、F,A是橢圓C上的一點(diǎn),AF⊥FF,O是坐標(biāo)原點(diǎn),OB垂直AF于B,且OF=3OB.

(Ⅰ)求橢圓C的離心率;

(Ⅱ)求t∈(0,b),使得命題“設(shè)圓x+y=t上任意點(diǎn)M(x,y)處的切線交橢圓C于Q、Q兩點(diǎn),那么OQ⊥OQ”成立.

 

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已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,且在x軸上的頂點(diǎn)分別為

(1)求橢圓方程;

(2)若直線軸交于點(diǎn)T,P為上異于T的任一點(diǎn),直線分別與橢圓交于M、N兩點(diǎn),試問直線MN是否通過橢圓的焦點(diǎn)?并證明你的結(jié)論.

 

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(本題滿分14分)已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,短軸一

 

個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為3.

(1)求橢圓C的方程;

(2)過橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)P引圓O:的兩條切線PA、PB,A、B分別為切點(diǎn),試探究橢圓C上是否存在點(diǎn)P,由點(diǎn)P向圓O所引的兩條切線互相垂直?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

 

 

 

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