Question

11．已知$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$，其中$\overrightarrow{m}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x）（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若f（A）=2，a=2，求△ABC的周長的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解出f（x）的解析式即可求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)f（A）=2，求出A角的大小，a=2，利用正弦定理表示出b，c．利用三角函數(shù)的有界限即可求△ABC的周長的取值范圍．

解答 解：由題意，$\overrightarrow{m}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x）（x∈R）．
∵$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$，
∴f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
令$-\frac{π}{2}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z
得：$kπ-\frac{π}{3}$≤x≤$kπ+\frac{π}{6}$．
∴單調(diào)遞增區(qū)間[$kπ-\frac{π}{3}$，$kπ+\frac{π}{6}$]，k∈Z
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
∴f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=2
得：sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．
∵0＜A＜π
∴A=$\frac{π}{3}$．
a=2，
正弦定理可得：b=$\frac{asinB}{sinA}$，c=$\frac{asinC}{sinA}$，
設(shè)△ABC的周長為L，則L=a+b+c=2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinB+sinC）．
∵A=$\frac{π}{3}$．
∴C=$\frac{2π}{3}-B$，$0＜B＜\frac{2π}{3}$．
則L=2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinB+sin（$\frac{2π}{3}-B$））=2+4cos（B-$\frac{π}{3}$）．
B$-\frac{π}{3}$∈（$-\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$），
∴cos（B-$\frac{π}{3}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]．
故得△ABC的周長L的取值范圍是（4，6]．

點(diǎn)評 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，三角函數(shù)的化解能力和正弦定理的計(jì)算．屬于中檔題．