Question

19．將函數(shù)y=-x²+x（x∈[0，1]）圖象繞點（1，0）順時針旋轉(zhuǎn)θ角（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）得到曲線C，若曲線C仍是一個函數(shù)的圖象，則θ的最大值為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{5π}{12}$

Answer 1

分析 確定函數(shù)在x=1處，函數(shù)圖象的切線斜率，可得傾斜角，從而可得角θ的 最大值．

解答 解：由題意，函數(shù)圖象如圖所示，函數(shù)在[0，$\frac{1}{2}$]上為增函數(shù)，在[$\frac{1}{2}$，1]上為減函數(shù)．
設(shè)函數(shù)在x=1處，切線斜率為k，則k=f'（1）
∵f'（x）=-2x+1，
∴∴k=f'（1）=-1，可得切線的傾斜角為135°，
因此，要使旋轉(zhuǎn)后的圖象仍為一個函數(shù)的圖象，旋轉(zhuǎn)θ后的切線傾斜角最多為 90°，也就是說，最大旋轉(zhuǎn)角為135°-90°=45°，即θ的最大值為45°即$\frac{π}{4}$．
故選：B．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的圖象與圖象變化等知識點，將函數(shù)圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)θ后，所得曲線仍是一個函數(shù)的圖象，求角θ的最大值，屬于中檔題．