Question

已知函數(shù)f(x)=x+

2

x

．
（1）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)；
（2）設(shè)集合M={y|y=f（x）-x，x∈[-1，0）∪（0，2]}，求集合M．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x∈[2，+∞），利用f′（x）=1-

2

x2

≥

1

2

＞0，即可證得函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)；
（2）依題意y=

2

x

，利用其單調(diào)性可求得x∈[-1，0）∪（0，2]時(shí)y的取值范圍，從而可得集合M．

解答：解：（1）證明：∵f′（x）=1-

2

x2

，又x∈[2，+∞），
∴0＜

2

x2

≤

1

2

，-

1

2

≤-

2

x2

＜0，

1

2

≤1-

2

x2

＜1，
即f′（x）≥

1

2

＞0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)；
（2）∵|y=f（x）-x=

2

x

，在（-∞，0），（0，+∞）為減函數(shù)，又x∈[-1，0）∪（0，2]，
∴y≤-2或y≥1．
∴M={y|y≤-2或y≥1}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，即可用單調(diào)性的定義證明，也可用導(dǎo)數(shù)法證明；考查函數(shù)y=

2

x

的性質(zhì)與集合及其運(yùn)算，屬于中檔題．