Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，且公差d＞0，它的第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別是等比數(shù)列{b_n}的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}對(duì)n∈N^*均有

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=an+1成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₁的值；
（3）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和S_n；并求滿(mǎn)足S_n＜168的最大正整數(shù)n．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式將第二項(xiàng)，第五項(xiàng)，第十四項(xiàng)用{a_n}的首項(xiàng)與公差表示，再據(jù)此三項(xiàng)成等比數(shù)列，列出方程，求出公差，利用等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）再寫(xiě)一式，兩式相減，求出數(shù)列的通項(xiàng)，即可求數(shù)列的和．
（3）利用錯(cuò)位相減法求和，利用S_n＜168，建立不等式，從而可求滿(mǎn)足條件S_n＜168最大的正整數(shù)．

解答：解：（1）∵a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d）
∵d＞0
∴d=2
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1
∴b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，
故數(shù)列{b_n}的公比是3，
∴b_n=3•3^n-2=3^n-1
（2）由

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1
得當(dāng)n≥2時(shí)，

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

=a_n
兩式相減得

cn

bn

=a_n+1-a_n=2，
∴c_n=2b_n=2×3^n-1（n≥2）
n=1時(shí)，c₁=3
∴c₁+c₂+…+c₂₀₁₁=3+2×3+2×3²+…+2×3²⁰¹¹=3²⁰¹¹
（3）S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=1+3×3+5×3²+…+（2n-1）×3^n-1 ①
∴3S_n=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-3）×3^n-1+（2n-1）3ⁿ ①
①-②得：-2S_n=-1+2（1+3+3²+3³+…+3^n-1）-（2n-1）×3ⁿ
∴S_n=1+（n-1）3ⁿ
∵S_n是遞增數(shù)列，且知S₃=55，S₄=244
∴滿(mǎn)足S_n＜168的最大正整數(shù)n=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的求和，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．