Question

【題目】如圖，在邊長為2的正三角形△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別在邊CA，AB上．
（1）若 ，求CE的長；
（2）若∠EDF=60°，問：當(dāng)∠CDE取何值時(shí)，△DEF的面積最小？并求出面積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△CDE中， ，

由余弦定理得，DE2=CD2+CE2﹣2×CD×CE×cos60°，

得CE2﹣CE﹣1=0，解得 ；

（2）解：設(shè)∠CDE=α，300≤α≤900，

在△CDE中，由正弦定理，得 ，

所以 ，同理 ，

故 ，

因?yàn)?00≤α≤900，300≤2α﹣300≤1500，

所以當(dāng)α=600時(shí)，sin（2α﹣300）的最大值為1，此時(shí)△DEF的面積取到最小值．

即∠CDE=60°時(shí)，△DEF的面積的最小值為 ．

【解析】（1）在△CDE中，由已知及余弦定理可得CE2﹣CE﹣1=0，進(jìn)而解得CE的值．（2）設(shè)∠CDE=α，300≤α≤900，在△CDE中，由正弦定理，可求DE= ， ，利用三角形面積公式可求S△DEF= ，由范圍300≤2α﹣300≤1500，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．
【考點(diǎn)精析】利用正弦定理的定義和余弦定理的定義對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知正弦定理:；余弦定理:;;．