Question

【題目】給定橢圓C： =1（a＞b＞0），稱圓心在原點(diǎn)O，半徑為 的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”．若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F（ ，0），其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為 ．
（Ⅰ）求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；
（Ⅱ）點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓的切線l1 ， l2交“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)M，N．
（�。┊�(dāng)點(diǎn)P為“準(zhǔn)圓”與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線l1 ， l2的方程并證明l1⊥l2；
（ⅱ）求證：線段MN的長(zhǎng)為定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：∵橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F（ ，0），其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為 ．

∴ ， ，

∴ =1，

∴橢圓方程為 ，

∴準(zhǔn)圓方程為x2+y2=4．

（Ⅱ）證明：（�。�∵準(zhǔn)圓x2+y2=4與y軸正半軸的交點(diǎn)為P（0，2），

設(shè)過(guò)點(diǎn)P（0，2）且與橢圓相切的直線為y=kx+2，

聯(lián)立 得（1+3k2）x2+12kx+9=0．

∵直線y=kx+2與橢圓相切，

∴△=144k2﹣4×9（1+3k2）=0，解得k=±1，

∴l(xiāng)1，l2方程為y=x+2，y=﹣x+2．

∵ ，

∴l(xiāng)1⊥l2．

（ⅱ）①當(dāng)直線l1，l2中有一條斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)直線l1斜率不存在，

則l1： ，

當(dāng)l1： 時(shí)，l1與準(zhǔn)圓交于點(diǎn) ，

此時(shí)l2為y=1（或y=﹣1），顯然直線l1，l2垂直；

同理可證當(dāng)l1： 時(shí)，直線l1，l2垂直．

②當(dāng)l1，l2斜率存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），其中 ．

設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x0，y0）與橢圓相切的直線為y=t（x﹣x0）+y0，

∴由

得 ．

由△=0化簡(jiǎn)整理得 ，

∵ ，∴有 ．

設(shè)l1，l2的斜率分別為t1，t2，

∵l1，l2與橢圓相切，

∴t1，t2滿足上述方程 ，

∴t1t2=﹣1，即l1，l2垂直．

綜合①②知：∵l1，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x0，y0），又分別交其準(zhǔn)圓于點(diǎn)M，N，且l1，l2垂直．

∴線段MN為準(zhǔn)圓x2+y2=4的直徑，|MN|=4，

∴線段MN的長(zhǎng)為定值．

【解析】（Ⅰ）利用已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其 即可得出；（Ⅱ）（i）把直線方程代入橢圓方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，利用直線與橢圓相切△=0，即可解得k的值，進(jìn)而利用垂直與斜率的關(guān)系即可證明；（ii）分類(lèi)討論：l1，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x0，y0），又分別交其準(zhǔn)圓于點(diǎn)M，N，無(wú)論兩條直線中的斜率是否存在，都有l(wèi)1，l2垂直．即可得出線段MN為準(zhǔn)圓x2+y2=4的直徑．