Question

6．已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0
（Ⅰ）求A的大小
（Ⅱ）若△ABC為銳角三角形，且a=$\sqrt{3}$，求b²+c²的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，由正弦定理可以將acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0變形為sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+sinC，進而由三角函數(shù)的恒等變形分析可得$\sqrt{3}$sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，結(jié)合A的范圍分析可得答案；
（Ⅱ）由正弦定理分析可得b²+c²=4（sin²B+sin²C），結(jié)合三角函數(shù)的恒等變形分析可得b²+c²=2sin（2B-$\frac{π}{6}$）+4，分析B的范圍，可得1＜2sin（2B-$\frac{π}{6}$）≤2，將其代入b²+c²=2sin（2B-$\frac{π}{6}$）+4中，即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，若acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0，
由正弦定理可得sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+sinC，
即sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sin（A+C）+sinC，
進而可得：$\sqrt{3}$sinA-cosA=1，
即$\sqrt{3}$sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
又由A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
則有A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，
即A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由正弦定理：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
則b²+c²=4（sin²B+sin²C）=2（2-cos2B-cos2C
=4+2cos2B-2cos2（$\frac{2π}{3}$-B）=4-cos2B+$\sqrt{3}$sin2B=2sin（2B-$\frac{π}{6}$）+4，
又$\left\{\begin{array}{l}{0＜B＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{2π}{3}-B＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，
解可得$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$＜2B-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
則有1＜2sin（2B-$\frac{π}{6}$）≤2，
故5＜b²+c²≤6．

點評 本題主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)恒等變換的綜合應(yīng)用，熟練掌握靈活應(yīng)用相關(guān)公式及定理是解題的關(guān)鍵．