Question

【題目】已知拋物線C： ，點(diǎn) 在x軸的正半軸上，過(guò)點(diǎn)M的直線 與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）若 ，且直線 的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；
（2）是否存在定點(diǎn)M，使得不論直線 繞點(diǎn)M如何轉(zhuǎn)動(dòng)， 恒為定值？

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng) 時(shí)， ，此時(shí)，點(diǎn)M為拋物線C的焦點(diǎn)，
直線 的方程為 ，設(shè) ，聯(lián)立 ，
消去y得， ，∴ ， ，∴圓心坐標(biāo)為 ．
又 ，∴圓的半徑為4，∴圓的方程為
（2）解：由題意可設(shè)直線 的方程為 ，則直線 的方程與拋物線C： 聯(lián)立，
消去x得： ，則 ， ，

對(duì)任意 恒為定值，
于是 ，此時(shí) ．
∴存在定點(diǎn) ，滿足題意
【解析】（1）根據(jù)條件可求出直線l的方程，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后，利用韋達(dá)定理可得出以A、B為直徑的圓的半徑、圓心坐標(biāo)，寫出圓的方程即可。
（2）根據(jù)條件設(shè)出直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立后表示出A、B坐標(biāo)，代入給出的式子、化簡(jiǎn)后得到=，則即k=2試該式恒為定值。