Question

10．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若c•cosB=a+$\frac{1}{2}$b，△ABC的面積S=$\frac{\sqrt{3}}{12}$c，則邊c的最小值為1．

Answer 1

分析 由條件里用正弦定理、兩角和的正弦公式求得cosC，進(jìn)而可求C，根據(jù)△ABC的面積公式和已知，求得c=3ab．再由余弦定理化簡可得9a²b²=a²+b²+ab≥3ab，由此求得c的最小值．

解答 解：在△ABC中，由條件里用正弦定理可得sinCcosB=sinA+$\frac{1}{2}$sinB=sin（B+C）+$\frac{1}{2}$sinB，
即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，
∴2sinBcosC+sinB=0，
∴cosC=-$\frac{1}{2}$，C=$\frac{2π}{3}$．
由于△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$ab•sinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab=$\frac{\sqrt{3}}{12}$c，
∴c=3ab．
再由余弦定理可得c²=a²+b²-2ab•cosC，整理可得：9a²b²=a²+b²+ab≥3ab，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取等號，
∴ab≥$\frac{1}{3}$，可得：c=3ab≥1，即邊c的最小值為1．
故答案為：1．

點評 本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式、基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．