Question

已知函數(shù)f(x)=x+

a

x

(a∈R），g（x）=lnx．
（1）求函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程

g(x)

x2

=f(x)-2e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）只有一個實數(shù)根，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先求出求函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）的導(dǎo)函數(shù)，分情況求出導(dǎo)數(shù)為0的根進而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（注意是在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間）；
（2）先把問題轉(zhuǎn)化為

lnx

x

=x2-2ex+a只有一個實數(shù)根；再利用導(dǎo)函數(shù)分別求出等號兩端的極值，在下面畫出草圖，結(jié)合草圖即可求出結(jié)論．

解答：（1）解：函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)=x+

a

x

+lnx的定義域為（0，+∞）．
∴F′(x)=1-

a

x2

+

1

x

=

x2+x-a

x2

．
①當△=1+4a≤0，即a≤-

1

4

時，得x²+x-a≥0，則F′（x）≥0．
∴函數(shù)F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（2分）
②當△=1+4a＞0，即a＞-

1

4

時，令F′（x）=0，得x²+x-a=0，
解得x1=

-1- 1+4a

2

＜0，x2=

-1+ 1+4a

2

．
（ⅰ）若-

1

4

＜a≤0，則x2=

-1+ 1+4a

2

≤0．
∵x∈（0，+∞），∴F′（x）＞0，
∴函數(shù)F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（4分）
（ⅱ）若a＞0，則x∈(0，

-1+ 1+4a

2

)時，F(xiàn)′（x）＜0；x∈(

-1+ 1+4a

2

，+∞)時，F(xiàn)′（x）＞0，
∴函數(shù)F（x）在區(qū)間(0，

-1+ 1+4a

2

)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(

-1+ 1+4a

2

，+∞)上單調(diào)遞增．
綜上所述，當a≤0時，函數(shù)F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；
當a＞0時，函數(shù)F（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，

-1+ 1+4a

2

)，
單調(diào)遞增區(qū)間為(

-1+ 1+4a

2

，+∞)．（8分）
（2）解：由

g(x)

x2

=f(x)-2e，得

lnx

x2

=x+

a

x

-2e，化為

lnx

x

=x2-2ex+a．
令h(x)=

lnx

x

，則h′(x)=

1-lnx

x2

．
令h′（x）=0，得x=e．
當0＜x＜e時，h′（x）＞0；當x＞e時，h′（x）＜0．
∴函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，e）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（e，+∞）上單調(diào)遞減．
∴當x=e時，函數(shù)h（x）取得最大值，其值為h(e)=

1

e

．（10分）
而函數(shù)m（x）=x²-2ex+a=（x-e）²+a-e²，
當x=e時，函數(shù)m（x）取得最小值，其值為m（e）=a-e²．（12分）
∴當a-e2=

1

e

，即a=e2+

1

e

時，方程

g(x)

x2

=f(x)-2e只有一個根．（14分）

點評：本題第一問考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值問題，是函數(shù)這一章最基本的知識，也是．教學(xué)中的重點和難點，學(xué)生應(yīng)熟練掌握．