Question

1．S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，已知a_n＞0，$\frac{{{a_n}+1}}{2}=\sqrt{S_n}$．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{2^n}}\right\}$的前n項和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）$\frac{{{a_n}+1}}{2}=\sqrt{S_n}$化為$a_n^2+2{a_n}+1=4{S_n}$，再利用遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式即可得出；
（Ⅱ）設(shè)$\left\{{\frac{a_n}{2^n}}\right\}$前n項和為T_n，由（Ⅰ）知$\frac{a_n}{2^n}=\frac{2n-1}{2^n}$，再利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）$\frac{{{a_n}+1}}{2}=\sqrt{S_n}$化為$a_n^2+2{a_n}+1=4{S_n}$，可知$a_{n+1}^2+2{a_{n+1}}+1=4{S_{n+1}}$，
可得$a_{n+1}^2-{a_n}^2+2（{a_{n+1}}-{a_n}）=4{a_{n+1}}$，即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=2（a_n+1+a_n），
由于a_n＞0，可得a_n+1-a_n=2，
又$a_1^2+2{a_1}+1=4{a_1}$，解得a₁=1，
∴{a_n}是首項是1，公差是2的等差數(shù)列，通項公式是a_n=2n-1．
（Ⅱ）設(shè)$\left\{{\frac{a_n}{2^n}}\right\}$前n項和為T_n，由（Ⅰ）知$\frac{a_n}{2^n}=\frac{2n-1}{2^n}$，
則${T_n}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+…+\frac{2n-1}{2^n}$，$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{5}{2^4}+…+\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$，
兩式相減得$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{2}{2^4}+…+\frac{2}{2^n}-\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$，
即$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{{\frac{2}{2^2}-\frac{2}{2^n}•\frac{1}{2}}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$，
所以${T_n}=3-\frac{2n+3}{2^n}$．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．