Question

如圖所示，在棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，PA=AD=DC=2，AB=4．
（Ⅰ）求證：BC⊥PC；
（Ⅱ）求PB與平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取AB中點(diǎn)E，連接CE，根據(jù)題意可得：AE=CE=2，得到△ABC為等腰直角三角形，所以AC⊥BC，又PA⊥BC，再結(jié)合線面垂直的判定定理可得線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直．
（Ⅱ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AP分別為x，y，z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出直線所在的向量與平面的法向量，再求出兩個(gè)向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線面角．
解答：解：（Ⅰ）在直角梯形ABCD中，AC=，
取AB中點(diǎn)E，連接CE，
則四邊形AECD為正方形，…（2分）
∴AE=CE=2，
又BE=，
所以△ABC為等腰直角三角形，
∴AC⊥BC，…（4分）
又∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，由AC∩PA=A，
所以BC⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，
所以BC⊥PC．…（6分）
（Ⅱ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AP分別為x，y，z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系．
則P（0，0，2），B（0，4，0），C（2，2，0），
所以．…（9分）
由（Ⅰ）知即為平面PAC的一個(gè)法向量，，…（11分）
即PB與平面PAC所成角的正弦值為．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而得到空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，結(jié)合有關(guān)定理進(jìn)行證明即可，并且也有利于建立空間之間坐標(biāo)系，利用向量的有關(guān)知識(shí)解決空間角與空間距離等問(wèn)題．