Question

如圖，直三棱柱ABC-A'B'C'，∠BAC=90°，AB=AC=λAA'，點M，N分別為A'B和B'C'的中點．
（I）證明：MN∥平面A'ACC'；
（II）若二面角A'-MN-C為直二面角，求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）法一，連接AB′、AC′，說明三棱柱ABC-A′B′C′為直三棱柱，推出MN∥AC′，然后證明MN∥平面A′ACC′；
法二，取A′B′的中點P，連接MP、NP，推出MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，然后通過平面與平面平行證MN∥平面A′ACC′．
（II）以A為坐標原點，分別以直線AB、AC、AA′為x，y，z軸，建立直角坐標系，設AA′=1，推出A，B，C，A′，B′，C′坐標求出M，N，設=（x₁，y₁，z₁）是平面A′MN的法向量，通過，取，設=（x₂，y₂，z₂）是平面MNC的法向量，由，取，利用二面角A'-MN-C為直二面角，所以，解λ．
解答：（I）證明：連接AB′、AC′，
由已知∠BAC=90°，AB=AC，
三棱柱ABC-A′B′C′為直三棱柱，
所以M為AB′中點，
又因為N為B′C′的中點，
所以MN∥AC′，
又MN?平面A′ACC′，
因此MN∥平面A′ACC′；
法二：取A′B′的中點P，連接MP、NP，
M、N分別為A′B、B′C′的中點，
所以MP∥AA′，NP∥A′C′，
所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，
又MP∩NP=P，因此平面MPN∥平面A′ACC′，
而MN?平面MPN，
因此MN∥平面A′ACC′．
（II）以A為坐標原點，分別以直線AB、AC、AA′為x，y，z軸，建立直角坐標系，如圖，
設AA′=1，則AB=AC=1，于是A（0，0，0），B（λ，0，0），C（0，λ，0），A′（0，0，1），B′（λ，0，1），C′（0，λ，1）．
所以M（），N（），
設=（x₁，y₁，z₁）是平面A′MN的法向量，
由，得，
可取，
設=（x₂，y₂，z₂）是平面MNC的法向量，
由，得，
可取，
因為二面角A'-MN-C為直二面角，
所以，
即-3+（-1）×（-1）+λ²=0，
解得λ=．
點評：本題以三棱柱為載體主要考查空間中的線面平行的判定，借助空間直角坐標系求平面的法向量的方法，并利用法向量判定平面的垂直關系，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，難度適中．第一小題可以通過線線平行來證明線面平行，也可通過面面平行來證明．