Question

已知函數，（其中）.
（1）求的單調區(qū)間；
（2）若函數在區(qū)間上為增函數，求的取值范圍；
（3）設函數，當時，若存在，對任意的，總有成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.
（2）.
（3）實數的取值范圍為.

解析試題分析：（1）利用導數非負，函數是增函數，導數非正，函數是減函數.通過研究函數的導數值正負，解決問題；
（2）利用“轉化與劃歸思想”，由題意得到在上恒成立，即在上恒成立，應用二次函數的性質得到，解得，注意驗證時，是否恒為0；
（3）將“存在，對任意的，總有成立”轉化成“在上的最大值不小于在上的最大值”. 建立的不等式組.
試題解析：（1），，
，故.
當時，；當時，.
的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.  3分
（2），則，由題意可知在上恒成立，即在上恒成立，因函數開口向上，且對稱軸為，故在上單調遞增，因此只需使，解得；
易知當時，且不恒為0.
故.  7分
（3）當時，，，故在上，即函數在上單調遞增，.  9分
而“存在，對任意的，總有成立”等價于“在上的最大值不小于在上的最大值”.
而在上的最大值為中的最大者，記為.
所以有，，
.
故實數的取值范圍為.  13分
考點：應用導數研究函數的單調性、最值，轉化與劃歸思想，不等式的解法.