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已知函數．
（Ⅰ）若函數在上為增函數，求實數的取值范圍；
（Ⅱ）當且時，證明： .

（I）的取值范圍為.（Ⅱ）詳見解析.

解析試題分析：（I）函數在上為增函數，則導數在上恒成立，即 在上恒成立.這只需即可.（Ⅱ）注意用第（I）題的結果.由（I）可得， ，從而得恒成立，（當且僅當時，等號成立），由此得，即.如何將這個這個不等式與待證不等式聯系起來？在中，令，得.
由此得，即.這樣疊加即可得：.
試題解析：（I）函數的定義域為.            1分
在上恒成立，即在上恒成立，  2分
∵  ∴，∴的取值范圍為               4分
（Ⅱ）由（I）當，時，，又，
∴（當時，等號成立），即          5分
又當時，設，   
則∴在上遞減，
∴，即在恒成立，
∴時， ①恒成立，（當且僅當時，等號成立），  7分
∴當時，，由①得，即   ..②.
當時，，，在中，令，得 .. ③.
∴由②③得，當時，，即.      10分
∴，
，
，

.
∴.                       12分
考點：1、導數的應用；2、不等式的證明.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數，（其中）.
（1）求的單調區(qū)間；
（2）若函數在區(qū)間上為增函數，求的取值范圍；
（3）設函數，當時，若存在，對任意的，總有成立，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數f(x)＝axln x圖象上點(e，f(e))處的切線與直線y＝2x平行，g(x)＝x2－tx－2.
(1)求函數f(x)的解析式；
(2)求函數f(x)在[n，n＋2](n>0)上的最小值；
(3)對一切x∈(0，e]，3f(x)≥g(x)恒成立，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數.
（Ⅰ）求函數的單調區(qū)間；
（Ⅱ）記函數的最小值為，求證：.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知圖像過點，且在處的切線方程是.
（1）求的解析式；
（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，半徑為30的圓形（為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料，其中點在圓弧上，點在兩半徑上，現將此矩形材料卷成一個以為母線的圓柱形罐子的側面（不計剪裁和拼接損耗），設與矩形材料的邊的夾角為，圓柱的體積為.

（Ⅰ）求關于的函數關系式？
（Ⅱ）求圓柱形罐子體積的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數（為自然對數的底數）.
（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）求函數的單調區(qū)間；
（Ⅲ）若存在使不等式成立，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數f（x）=lnx－ax（a>0）．
（I）當a=2時，求f（x）的單調區(qū)間與極值；
（Ⅱ）若對于任意的x∈（0，+），都有f（x）<0，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數.
（1）當時，求函數的單調區(qū)間；
（2）若時，函數在閉區(qū)間上的最大值為，求的取值范圍.

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