Question

19．一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖如圖所示，在正方體中，設AB終點為M，CF中點為N．

（1）請將字母F、G、H標記在正方體相應的頂點處（不需說明理由）；
（2）證明：直線MN∥面AEF；
（3）若正方體棱長為2，求三棱錐M-AEF的體積．

Answer 1

分析 （1）將正方體的平面展開圖還胡成該正方體的直觀圖，能將字母F、G、H標記在正方體相應的頂點處．
（2）設P為BE中點，推導出面MNP∥面AEF，由此能證明MN∥面AEF．
（3）三棱錐M-AEF的體積V_M-AEF=V_F-AEM，由此能求出結果．

解答 解：（1）將正方體的平面展開圖還胡成該正方體的直觀圖，
將字母F、G、H標記在正方體相應的頂點處，如右圖：
證明：（2）設P為BE中點，連MP、NP，
∵N為CF中點，
∴NP∥EF，NP?面AEF，EF?面AEF，
∴NP∥面AEF，
又∵M為AB中點，∴MP$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AE，
∵MP?面AEF，AE?面MNP，
∴MP∥面AEF，
而MP∩NP=P，MP、NP?面MNP，
∴面MNP∥面AEF，
∵MN?面MNP，
∴MN∥面AEF．
解：（3）∵正方體棱長為2，
∴三棱錐M-AEF的體積：
V_M-AEF=V_F-AEM=$\frac{1}{3}×{S}_{△AEM}×EF$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×2=\frac{2}{3}$．

點評 本題考查正方形結構特征的應用，考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．