Question

（2012•茂名二模）如圖，A是單位圓與x軸正半軸的交點，點B，P在單位圓上，且B（-

3

5

，

4

，5

），∠AOB=α，∠AOP=θ（0＜θ＜π），

OQ

=

OA

+

OP

．設四邊形OAQP的面積為S，
（1）求cos（α-

π

6

）；
（2）求f（θ）=

OA

•

OQ

+S的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）由B的坐標及∠AOB=α，利用三角函數(shù)定義求出cosα與sinα的值，所求式子利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡后，將各自的值代入計算即可求出值；
（2）由A與P的坐標，及

OQ

=

OA

+

OP

，利用平面向量的數(shù)量積運算法則表示出

OQ

，進而求出

OA

•

OQ

，再由S為OA乘以P的縱坐標，表示出S，各自代入f（θ）中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出f（θ）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）∵B（-

3

5

，

4

5

），∠AOB=α，cosα=-

3

5

，sinα=

4

5

，
∴cos（α-

π

6

）=cosαcos

π

6

+sinαsin

π

6

=-

3

5

×

3

2

+

4

5

×

1

2

=

4-3 3

10

；
（2）由已知得：A（1，0），P（cosθ，sinθ），
∴

OQ

=

OA

+

OP

=（1+cosθ，sinθ），

OA

•

OQ

=1+cosθ，
∵S=sinθ，
∴

OA

•

OQ

+S=sinθ+cosθ+1=

2

sin（θ+

π

4

）+1（0＜θ＜π），
∵θ∈（0，π），∴

π

4

＜θ+

π

4

＜

5π

4

，
由

π

4

＜θ+

π

4

≤

π

2

，得到0＜θ≤

π

4

，
則f（θ）=

OA

•

OQ

+S的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

π

4

]．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，平面向量的數(shù)量積運算，正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵．