【答案】
分析:(Ⅰ)把a=2代入函數(shù)解析式,根據(jù)絕對值的符號分為兩種情況,即x<2和x≥2分別求解對應方程得根,再把所有的根用列舉法表示出來.
(Ⅱ)根據(jù)區(qū)間[1,2]和絕對值內的式子進行分類討論,即a≤1、1<a≤2和a≥3三種情況,分別求出解析式和它的導函數(shù),利用導函數(shù)的符號判斷在閉區(qū)間上的單調性,再求最小值;當a≥3時最小值可能取在區(qū)間的兩端,再通過作差和分類進行比較兩個函數(shù)值的大小,最后用分段函數(shù)表示函數(shù)的最小值.
解答:解:(Ⅰ)由題意,f(x)=x
2|x-2|
當x<2時,由f(x)=x
2(2-x)=x,解得x=0或x=1;
當x≥2時,由f(x)=x
2(x-2)=x,解得x=1+
.
綜上,所求解集為{0,1,1+
}
(Ⅱ)設此最小值為m.
①當a≤1時,在區(qū)間[1,2]上,f(x)=x
3-ax
2,
∵f′(x)=3x
2-2ax=3x(x-
a)>0,x∈(1,2),
則f(x)是區(qū)間[1,2]上的增函數(shù),∴m=f(1)=1-a.
②當1<a≤2時,在區(qū)間[1,2]上,f(x)=x
2|x-a|≥0,由f(a)=0知m=f(a)=0.
③當a>2時,在區(qū)間[1,2]上,f(x)=ax
2-x
3
f′(x)=2ax-3x
2=3x(
a-x).
若a≥3,在區(qū)間(1,2)上,f'(x)>0,則f(x)是區(qū)間[1,2]上的增函數(shù),
∴m=f(1)=a-1.
若2<a<3,則1<
a<2.
當1<x<
a時,f'(x)>0,則f(x)是區(qū)間[1,
a]上的增函數(shù),
當
a<x<2時,f'(x)<0,則f(x)是區(qū)間[
a,2]上的減函數(shù),
因此當2<a<3時,故m=f(1)=a-1或m=f(2)=4(a-2).
當2<a≤
時,4(a-2)≤a-1,故m=f(2)=4(a-2),
當
<a<3時,4(a-2)<a-1,故m=f(1)=a-1.
總上所述,所求函數(shù)的最小值m=
.
點評:本題主要用了分類討論的思想解決含有參數(shù)的函數(shù)求值和求最值問題,分類的標準是絕對值的符號,求閉區(qū)間上的最值時,通常是求函數(shù)的導數(shù)用它的符號判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調性,再求最值,有時需要對端點處的函數(shù)值進行作差比較大。