Question

19．如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AB=1，∠ABC=60°，PD與平面ABCD所成的角是45°．點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊PB上．
（1）當(dāng)F位于PB什么位置時(shí)，EF∥平面PAC；
（2）證明：平面PBC⊥平面PAE．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是PB中點(diǎn)，得EF∥PC，由此得到EF∥平面PAC．
（2）由已知得AC=AB=1，∠PDA=45°，PA=1，從而BC⊥AE，BC⊥PE，由此能證明平面PBC⊥平面PAE．

解答 解：（1）當(dāng)F是PB中點(diǎn)時(shí)，EF∥平面PAC．
理由如下：
∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是PB中點(diǎn)，
∴EF∥PC，
∵EF?平面PAC，PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
證明：（2）∵PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，
AB=1，∠ABC=60°，PD與平面ABCD所成的角是45°，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴AC=AB=1，∠PDA=45°，∴PA=1，
∴BC⊥AE，PC=PB，∴BC⊥PE，
∵AE∩PE=E，∴BC⊥平面PAE，
∵BC?PBC，∴平面PBC⊥平面PAE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查使線面平行的點(diǎn)的位置的判斷與求法，考查面面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．