Question

13．設(shè)P為直線l₁：x-2y+4=0與直線l：2x-y-4=0的交點，圓C：x²+y²-4x-4y+7=0，l₀為過點P且斜率為k的直線，
（1）若k=$\frac{3}{2}$，l₀與圓C交于A，B兩點，求|AB|；
（2）k為何值時，l₀與圓C相切？設(shè)切點分別為M，N，求cos∠MPN．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立直線方程可解得P（4，4）可得l₀的方程，又可得圓C的圓心為（2，2），半徑為1，可得圓心C到直線l₀的距離d，由勾股定理可得；
（2）由相切可得k的方程，解方程可得k值，由三角函數(shù)的定義可得sin∠MPC，由二倍角公式可得cos∠MPN．

解答 解：（1）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4=0}\\{2x-y-4=0}\end{array}\right.$可解得P（4，4），
當(dāng)k=$\frac{3}{2}$時，l₀的方程為y-4=$\frac{3}{2}$（x-4），即3x-2y-4=0，
配方可得圓C：x²+y²-4x-4y+7=0的方程為（x-2）²+（y-2）²=1，
故圓C的圓心為（2，2），半徑為1，
∴圓心C到直線l₀的距離d=$\frac{|3×2-2×2-4|}{\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{13}}$，
∴|AB|=2$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{2}{\sqrt{13}}）^{2}}$=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$；
（2）l₀的方程為y-4=k（x-4），即kx-y+4-4k=0，
由相切可得圓心C到直線l₀的距離d=$\frac{|2k-2+4-4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
平方并整理可得3k²-8k+3=0，解得k=$\frac{4±\sqrt{7}}{3}$，
∵sin∠MPC=$\frac{MC}{PC}$=$\frac{1}{\sqrt{（4-2）^{2}+（4-2）^{2}}}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$，
∴cos∠MPN=cos2∠MPC=1-2sin²∠MPC=1-2×$\frac{1}{8}$=$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查圓的切線方程，涉及圓的弦長和點到直線的距離以及二倍角的余弦公式，屬中檔題．