Question

定義：若?x∈R，使得f（x）=x成立，則稱x為函數(shù)y=f（x）的一個不動點
（1）下列函數(shù)不存在不動點的是______（單選）
   A．f（x）=1-log_ax（a＞1）B．f（x）=x²+（b+2）x+1（b＞1）C．f（x）=lnx        D．f（x）=x
（2）設f（x）=2lnx-ax²（a∈R），求f（x）的極值
（3）設（e為自然對數(shù)的底數(shù)），當a＞0時，討論函數(shù)g（x）是否存在不動點，若存在求出a的范圍，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令x=1，可判斷A中函數(shù)是否存在不動點，構造函數(shù)（x）=f（x）-x，判斷函數(shù)是否存在零點，可判斷B中函數(shù)是否存在不動點，根據(jù)不動點的定義，可判斷D中函數(shù)有無數(shù)個不動點；
（2）求出函數(shù)的導函數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，進而可得函數(shù)的極值點，代入解析式可得函數(shù)的極值．
（3）若函數(shù)存在不動點，則方程g（x）=x有解，即有解，利用導數(shù)法求出的最值，比較后可得結論．
解答：解．（1）當x=1時，f（x）=1-log_ax=x，故A中函數(shù)f（x）存在不動點；
令g（x）=f（x）-x=x²+（b+1）x+1
∵b＞1
∴△=（b+1）²-4＞0
則方程g（x）=0有根，即B中函數(shù)f（x）存在不動點；
D中任意x值均為不動點，
故選C┅┅（4分）
（2）
①當a=0時，，f（x）在（0，+∞）上位增函數(shù)，無極值；
②當a＜0時，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上位增函數(shù)，無極值；
③當a＞0時，f'（x）=0，得，列表如下：

X
f'（x）	+		_
f（x）	增	極大值	減

當時，f（x）有極大值=
綜上，當a≤0時無極值，當a＞0時f（x）有極大值=．┅┅（10分）
（3）假設存在不動點，則方程g（x）=x有解，即有解．
設h（x）=，（a＞0）有（2）可知h（x）極大值==，下面判斷h（x）極大值是否大于0，設，（a＞0），，列表如下：

A	（0，e））	e	（e，+∞）
p'（a）	+		-
P（a）	增	極大值	減

當a=e時，p（a）極大值=p（e）=＜0，所以恒成立，即h（x）極大值小于零，所以g（x）無不動點．┅┅（14分）
點評：本題考查的知識點是函數(shù)在某點取得極值的條件，函數(shù)的值，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)是高考必考內(nèi)容，其經(jīng)典題型分析單調(diào)性，求極值，求最值一定要熟練掌握．