已知拋物線y2=-16x的焦點為F1,準(zhǔn)線與x軸的交點為F2,在直線l:x+y-8=0上找一點M,求以F1,F(xiàn)2為焦點,經(jīng)過點M且長軸最短的橢圓方程.
分析:由題設(shè)條件可知:F1(-4,0),F(xiàn)2(4,0),設(shè)F2(4,0)關(guān)于直線l:x+y-8=0的對稱點為F2′(x0,y0),根據(jù)對稱的有關(guān)知識可得F2′(8,4).連接F1F2′交直線L于一點,此點即為所求的點M.此時|MF1|+|MF2|取得最小值,并且求出最小值,進而得到2a=4
10
∴a=2
10
,即可求出橢圓的方程.
解答:解:由題設(shè)條件可知:F1(-4,0),F(xiàn)2(4,0)
設(shè)F2(4,0)關(guān)于直線l:x+y-8=0的對稱點為F2′(x0,y0),
則有
y0
x0-4
=1
x0+4
2
+
y0
2
-8=0
x0=8
y0=4
,所以F2′(8,4).
連接F1F2′交直線L于一點,此點即為所求的點M.
此時|MF1|+|MF2|取得最小值,并且其最小值等于|F1F2|=
(8+4)2+42
=4
10

設(shè)所求橢圓方程為:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)

所以橢圓長軸長的最小值為4
10
,即2a=4
10
∴a=2
10
,
又因為c=4,所以b2=a2-c2=40-16=24
所以所求橢圓方程為:
x2
40
+
y2
24
=1
點評:本題主要考查利用對稱性解決最值問題,以及考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線y2=2px(p>0)上一點M(1,m)到其焦點的距離為5,雙曲線x2-
y2
a
=1
的左頂點為A,若雙曲線一條漸近線與直線AM垂直,則實數(shù)a=(  )
A、
2
B、2
C、
2
2
D、
1
4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線y2=-x與直線y=k(x+1)相交于A、B兩點.
(1)求證:OA⊥OB;
(2)當(dāng)△OAB的面積等于
10
時,求k的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義:在直角坐標(biāo)系中,若不在一直線上的三點A、B、C的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3),則三角形ABC的面積可以表示為S△ABC=|
1
2
.
x1 y1  1
x2y2     1
x3y3    1
.
|
.已知拋物線y2=4x,過拋物線焦點F斜率為
4
3
的直線l與拋物線交于A、B兩點.
(1)求A、B兩點的坐標(biāo);
(2)若P(3,0),試用行列式計算三角形面積的方法求四邊形APBO的面積S.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線y2=4x,焦點為F,頂點為O,點P在拋物線上移動,Q是OP的中點.
(1)求點Q的軌跡方程;
(2)若傾斜角為60°且過點F的直線交Q的軌跡于A,B兩點,求弦長|AB|.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線y2=2px(p>0)與雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a,b>0)有相同的焦點F,點A是兩曲線的一個交點,且AF⊥x軸,若l為雙曲線的一條斜率大于0的漸近線,則l的斜率的取值范圍是
2
,+∞)
2
,+∞)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案