Question

數(shù)列的各項均為正數(shù)，為其前項和，對于任意，總有成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項和為 ，且，求證：對任意實數(shù)（是常數(shù)，＝2．71828）和任意正整數(shù)，總有 2；
（3）正數(shù)數(shù)列中，．求數(shù)列中的最大項。

Answer 1

（1）．（）    （2）見解析      （3）

【錯解分析】（1）對的轉(zhuǎn)化，要借助于的關(guān)系。
（2）放縮法是此題的難點。
【正解】解：(1)由已知：對于，總有 ①成立
∴  （n≥2）②  
①--②得
∴
∵均為正數(shù)，∴  （n≥2）
∴數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列
又n=1時，，解得=1∴．（）
（2）證明：∵對任意實數(shù)和任意正整數(shù)n，總有≤．
∴

（3）解：由已知 ，   

易得
猜想n≥2時，是遞減數(shù)列．令
∵當(dāng)
∴在內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)．
由．
∴n≥2時，是遞減數(shù)列．即是遞減數(shù)列．
又 ，∴數(shù)列中的最大項為．