Question

已知在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B⊥平面ABC，∠ABC=90°，B₁B=AB=2BC=4，D，E分別是B₁C₁，A₁A的中點(diǎn)．
（1）求證：A₁D∥平面B₁CE；
（2）設(shè)M是EB₁的中點(diǎn)，N在棱AB上，且BN=1，P是棱AC上的動(dòng)點(diǎn)，求直線NP與平面MNC所成角θ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接CB₁，C₁B交于O，連接OE，利用三棱柱的性質(zhì)，得到OD∥A₁E，OD=A₁E，進(jìn)一步得到A₁D∥OE，利用線面平行的判定定理可證；
（2）建立坐標(biāo)系，求出平面MNC的法向量，利用法向量與向量AB所成的角的余弦值得到直線NP與平面MNC所成角為θ的范圍．

解答： （1）證明：如圖，

連接CB₁，C₁B交于O，連接OE，因?yàn)閹缀误w是三棱柱，所以O(shè)D∥A₁E，OD=A₁E，
所以A₁D∥OE，OE?平面B₁CE，A₁D?平面B₁CE，
所以A₁D∥平面B₁CE；
（2）建立坐標(biāo)系，如圖

設(shè)P（a，b，0），N（0，1，0），M（0，2，3），C（2，0，0），得到

NP

=（a，b-1，0），

MN

=（0，-1，-3），

NC

=（2，-1，0），
設(shè)平面MNC的法向量為

n

=（x，y，z），則

n • MN =0 n • NC =0

即

y+3z=0 2x-y=0

，令x=1，則

n

=（1，2，-

2

3

），
cos＜

BA

，

n

＞=

BA • n

| BA || n |

=

8

4× 7 3

=

6

7

，
所以直線NP與平面MNC所成角為θ的范圍為[0，arcsin

6

7

]．

點(diǎn)評：本題考查了線面平行的判定定理的運(yùn)用，以及線面角的求法，（1）關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為線線平行解答；（2）借助于平面的法向量與直線的方向向量的夾角求之．