Question

已知f（x）為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時．f（x）=x²-x．
（1）求f（x）的解析式；

（2）若f（x）=a恰有3個不同的解，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)的奇偶性，利用對稱性，寫出函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，利用數(shù)形結(jié)合的思想求a的取值范圍；
（3）y=f（x）當(dāng)x∈[1，2]時的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方，x²-x＞2x+2m+1在區(qū)間[1，2]恒成立，即2m＜x²-3x-1在區(qū)間[1，2]恒成立，運用二次函數(shù)的對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，即可求得右邊的最小值，令2m小于最小值即可．

解答： 解：（1）當(dāng)x∈（-∞，0）時，-x∈（0，+∞），
∵y=f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=-（（-x）²-（-x））=-x²-x，且f（0）=0，
∴f（x）=

x2-x，x≥0 -x2-x，x＜0

；
（2）當(dāng)x∈[0，+∞）時，f（x）=x²-x=（x-

1

2

）²-

1

4

，最小值為-

1

4

；
∴當(dāng)x∈（-∞，0）時，f（x）=-x²-x=

1

4

-（x+

1

2

）²，最大值為

1

4

．
∴據(jù)此可作出函數(shù)y=f（x）的圖象，根據(jù)圖象得，
若方程f（x）=a恰有3個不同的解，則a的取值范圍是（-

1

4

，

1

4

）；
（3）∴在區(qū)間[1，2]內(nèi)，y=f（x）=x²-x，
∵y=f（x）當(dāng)x∈[1，2]時的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方，
∴x²-x＞2x+2m+1在區(qū)間[1，2]恒成立，即2m＜x²-3x-1在區(qū)間[1，2]恒成立，
∵函數(shù)t=x²-3x-1在區(qū)間[1，

3

2

]是減函數(shù)，（

3

2

，2]上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x=

3

2

時，x²-3x-1的最小值是-

13

4

，
則2m＜x²-3x-1在區(qū)間[1，2]恒成立，
可得，2m＜-

13

4

，即m＜-

13

8

．

點評：本題以二次函數(shù)為例，求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的表達(dá)式，并求不等式恒成立時參數(shù)的取值范圍，著重考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、圖象的對稱性和函數(shù)恒成立問題的討論等知識，屬于中檔題．