Question

9．已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的兩個焦點，且|F₁F₂|=2，點$（\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$在該橢圓上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與以原點為圓心，b為半徑的圓相切于第一象限，切點為M，且直線l與橢圓交于P、Q兩點，問|F₂P|+|F₂Q|+|PQ|是否為定值？如果是，求出定值；如不是，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由|F₁F₂|=2，點$（\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$在該橢圓上，求出a=2，$b=\sqrt{3}$，由此能出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），推導出$|P{F_2}|=\frac{1}{2}（4-{x_1}）=2-\frac{1}{2}{x_1}$．連接OM，OP，由相切條件推導出$|PM|=\frac{1}{2}{x_1}$，由此能求出|F₂P|+|F₂Q|+|PQ|為定值．

解答 解：（Ⅰ）∵F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的兩個焦點，
且|F₁F₂|=2，點$（\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$在該橢圓上．
由題意，得c=1，即a²-b²=1，①
又點$（\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$在該橢圓上，∴$\frac{2}{a^2}+\frac{3}{{2{b^2}}}=1$，②
由①②聯(lián)立解得a=2，$b=\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
$\frac{{{x_1}^2}}{4}+\frac{{{y_1}^2}}{3}=1（|{x_1}|≤2）$，$|P{F_2}{|^2}={（{x_1}-1）^2}+{y_1}^2={（{x_1}-1）^2}+3（1-\frac{{{x_1}^2}}{4}）=\frac{1}{4}{（{x_1}-4）^2}$，
∴$|P{F_2}|=\frac{1}{2}（4-{x_1}）=2-\frac{1}{2}{x_1}$．
連接OM，OP，由相切條件知：
$|PM{|^2}=|OP{|^2}-|OM{|^2}={x_1}^2+{y_1}^2-3={x_1}^2+3（1-\frac{{{x_1}^2}}{4}）-3=\frac{1}{4}{x_1}^2$，
∴$|PM|=\frac{1}{2}{x_1}$，
∴$|P{F_2}|+|PM|=2-\frac{1}{2}{x_1}+\frac{1}{2}{x_1}=2$．
同理可求得$|Q{F_2}|+|QM|=2-\frac{1}{2}{x_2}+\frac{1}{2}{x_2}=2$，
∴|F₂P|+|F₂Q|+|PQ|=2+2=4為定值．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查線段和是否為定值的判斷與求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查等價轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．