點P為直線數(shù)學(xué)公式上任意一點,點A(0,0),B(3,0),則∠APB的最大值為________.


分析:設(shè)經(jīng)過A、B兩點的圓為圓M,且圓M直線相切于點P0,根據(jù)平面幾何知識可得:當(dāng)動點P與點P0重合時,∠APB的最大.然后設(shè)出圓M方程為:x2+y2+Dx+Ey+F=0,利用點A(0,0)和B(3,0)在圓M上,解出D=-3且F=0,再利用圓心到直線的距離等于半徑解出E的值,從而得到圓M的方程.最后聯(lián)解直線與圓M的方程,得到切點P0坐標(biāo)為(0,),在Rt△P0AB中利用正切定義求出最大角為
解答:如圖,作出經(jīng)過A、B兩點的圓M,且圓M直線相切于點P0,
動在直線上運動,則點P與點P0重合時,∠APB的最大.
證明如下:當(dāng)點P位于圓M外時,設(shè)PB交圓M于點C,
連接AC,則∠AP0B=∠ACB>∠APB,所以∠AP0B是∠APB的最大值.
設(shè)圓M方程為:x2+y2+Dx+Ey+F=0,據(jù)題意得:
?D=-3且F=0
∴圓M方程為:x2+y2-3x+Ey=0,圓心M(,-),半徑為
∵圓M直線相切,即與直線相切,
?E=-
所以,圓M方程為:x2+y2-3x-y=0,再由
聯(lián)解,得,所以點P0坐標(biāo)為(0,).
此時,在Rt△P0AB中有tan∠AP0B==
∴∠AP0B=,即∠APB的最大值為
故答案為:
點評:本題借助于一個動點到兩個定點的張角的最大值的問題為載體,著重考查了直線與圓的位置關(guān)系和三角函數(shù)的基本概念等知識點,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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(2012•青州市模擬)已知點F1,F(xiàn)2分別為橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦點,點P為橢圓上任意一點,P到焦點F2的距離的最大值為
2
+1
,且△PF1F2的最大面積為1.
( I)求橢圓C的方程.
( II)點M的坐標(biāo)為(
5
4
,0)
,過點F2且斜率為k的直線L與橢圓C相交于A,B兩點.對于任意的k∈R,
MA
MB
是否為定值?若是求出這個定值;若不是說明理由.

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已知點F1,F(xiàn)2分別為橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦點,點P為橢圓上任意一點,P到焦點F2(1,0)的距離的最大值為
2
+1.
(1)求橢圓C的方程.
(2)點M的坐標(biāo)為(
5
4
,0),過點F2且斜率為k的直線l與橢圓C相交于A,B兩點.對于任意的k∈R,
MA
MB
是否為定值?若是求出這個定值;若不是說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆江西省高二周六強(qiáng)化訓(xùn)練(一)數(shù)學(xué) 題型:選擇題

已知傾斜角α≠0的直線l過橢圓(a>b>0)的右焦點交橢圓于A.B兩

點,P為直線上任意一點,則∠APB為  (     )

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點P為直線上任意一點,點A(0,0),B(3,0),則∠APB的最大值為   

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