Question

18．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a，b，c成等比數(shù)列，cosB=$\frac{3}{5}$．
（Ⅰ）求$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosC}{sinC}$的值；
（Ⅱ）若△ABC的面積為2，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)cosB求出sinB的值，利用a，b，c成等比數(shù)列，根據(jù)正弦定理和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式，求出$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosC}{sinC}$的值；
（Ⅱ）根據(jù)△ABC的面積公式求出b的值，再利用余弦定理求出a²+c²以及a+c即可．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，∵cosB=$\frac{3}{5}$＞0，
∴sinB=$\sqrt{1{-cos}^{2}B}$=$\frac{4}{5}$，
由a，b，c成等比數(shù)列，得b²=ac，
根據(jù)正弦定理得：sin²B=sinAsinC，
∴$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{cosAsinC+sinAcosC}{sinAsinC}$
=$\frac{sin（A+C）}{sinAsinC}$
=$\frac{sin（π-B）}{sinAsinC}$
=$\frac{sinB}{sinAsinC}$
=$\frac{sinB}{{sin}^{2}B}$
=$\frac{1}{sinB}$
=$\frac{5}{4}$；
（Ⅱ）△ABC的面積為S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$b²•$\frac{4}{5}$=2，
∴b=$\sqrt{5}$；
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-2×5×$\frac{3}{5}$，
∴a²+c²=b²+6=5+5=11，
∴（a+c）²=a²+2ac+c²=11+2×5=21，
∴a+c=$\sqrt{21}$；
∴△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=$\sqrt{21}$+$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理以及等比數(shù)列的性質(zhì)和同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系應(yīng)用問題，是綜合性題目．