Question

15．與雙曲線與$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$有共同漸近線且與橢圓$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$有共同焦點，則此雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{3}{2}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}=1$．

Answer 1

分析 設(shè)出雙曲線方程，利用橢圓的焦點坐標(biāo)相同，求解即可．

解答 解：所求雙曲線與雙曲線與$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$有共同漸近線，
設(shè)雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}-{y}^{2}=m$，
橢圓$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$的焦點（-$\sqrt{2}$，0），（$\sqrt{2}$，0）．c=$\sqrt{2}$．
3m+m=2，
解得m=$\frac{1}{2}$．
雙曲線的方程為：$\frac{{x}^{2}}{\frac{3}{2}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{\frac{3}{2}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}=1$．

點評 本題考查橢圓與雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線方程的求法，考查計算能力．