Question

2．已知橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1，圓C：x²+y²=6-a²在第一象限有公共點(diǎn)P，設(shè)圓C在點(diǎn)P處的切線斜率為k₁，橢圓M在點(diǎn)P處的切線斜率為k₂，則$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$的取值范圍為（　　）

• A． （1，6）
• B． （1，5）
• C． （3，6）
• D． （3，5）

Answer 1

分析 由題意可知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，則$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{6-{a}^{2}}＜a}\\{\sqrt{6-{a}^{2}}＞1}\end{array}\right.$，求得3＜a²＜5，根據(jù)橢圓及圓的切線方程，求得切線的斜率，即可求得$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=a²，求得$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$的取值范圍．

解答 解：設(shè)P（x₀，y₀），
由橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1，圓C：x²+y²=6-a²在第一象限有公共點(diǎn)P，
當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時(shí)，即a＞1時(shí)，
則$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{6-{a}^{2}}＜a}\\{\sqrt{6-{a}^{2}}＞1}\end{array}\right.$，解得：3＜a²＜5，
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸，即0＜a＜1時(shí)，顯然圓與橢圓無交點(diǎn)，
圓x²+y²=6-a²在P點(diǎn)的切線方程為x₀x+y₀y=6-a²，則切線斜率k₁=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1在P點(diǎn)的切線方程為$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}+{y}_{0}y=1$，則切線斜率k₂=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}{a}^{2}}$，
則$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=a²，
∴$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$的取值范圍（3，5），
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查橢圓及圓的切線方程，考查圓與橢圓的交點(diǎn)問題，考查計(jì)算能力，屬于難題．