Question

9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)，0≤α≤π），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．
（1）寫出C的極坐標(biāo)方程；
（2）若A、B為曲線C上的兩點(diǎn)，且∠AOB=$\frac{π}{3}$，求|OA|+|OB|的范圍．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)α，得曲線C的普通方程，再由普通方程能求出C的極坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)點(diǎn)A的極角為θ，點(diǎn)B的極角為$θ+\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}≤θ≤\frac{5π}{12}$，則|OA|+|OB|=4sinθ+4sin（$θ+\frac{π}{3}$）=4$\sqrt{3}$sin（$θ+\frac{π}{6}$），由此能求出|OA|+|OB|的取值范圍．

解答 解：（1）∵曲線C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)，0≤α≤π），
∴消去參數(shù)α，得曲線C的普通方程為x²+（y-2）²=4，x∈[-2，2]，y∈[2，4]，
∴C的極坐標(biāo)方程為ρ²cos²θ+（ρsinθ-2）²=4，即ρ=4sinθ，（$\frac{π}{4}≤θ≤\frac{3π}{4}$）．
（2）設(shè)點(diǎn)A的極角為θ，點(diǎn)B的極角為$θ+\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}≤θ≤\frac{5π}{12}$，
則|OA|+|OB|=4sinθ+4sin（$θ+\frac{π}{3}$）
=4$\sqrt{3}$sin（$θ+\frac{π}{6}$），
∵$\frac{π}{4}≤θ≤\frac{5π}{12}$，∴$\frac{5π}{12}$$≤θ+\frac{π}{6}≤$$\frac{7π}{12}$，
當(dāng)θ$+\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{12}$或$θ+\frac{π}{6}=\frac{7π}{12}$時(shí)，
（|OA|+|OB|）_min=4$\sqrt{3}$sin$\frac{5π}{12}$=4$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}+\frac{π}{6}$）
=4$\sqrt{3}$（sin$\frac{π}{4}cos\frac{π}{6}$+cos$\frac{π}{4}sin\frac{π}{6}$）
=4$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$）=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
當(dāng)$θ+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，（|OA|+|OB|）_max=4$\sqrt{3}sin\frac{π}{2}$=4$\sqrt{3}$．
∴|OA|+|OB|的取值范圍是[3$\sqrt{2}+\sqrt{6}$，4$\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的極坐標(biāo)方程的求法，考查兩線段和的取值范圍的求法，考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．