Question

7．設函數f（x）=$\frac{ex}{{e}^{x}}$+3，g（x）=-2x²+ax-1nx（a∈R，e為自然對數的底數）．
（1）若函數g（x）在區(qū)間（$\frac{1}{4}$，2）上是單調函數，求實數a的取值范圍；
（2）若對任意x∈（0，e），都有唯一的x₀∈[e^-4，e]．使得f（x）=g（x₀）+2x₀²成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對g（x）求導，由單調，確定g（x）在區(qū)間上的正負．
（2）對f（x）求導，計算其值域，構造新函數，將問題轉化，在對a分類討論．

解答 解：（1）∵g（x）=-2x²+ax-1nx
∴g（x）的定義域為（0，+∞）
g′（x）=-4x+a-$\frac{1}{x}$=$\frac{-4{x}^{2}+ax-1}{x}$
∵g（x）在區(qū)間（$\frac{1}{4}$，2）上是單調函數，
∴-4x²+ax-1=0在區(qū)間（$\frac{1}{4}$，2）上無解，
即a=4x+$\frac{1}{x}$在區(qū)間（$\frac{1}{4}$，2）上無解
令h（x）=4x+$\frac{1}{x}$，知h（x）為對號函數，在區(qū)間（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）上單調遞減，在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，2）上單調遞增．
h（x）最小值為h（$\frac{1}{2}$）=4，端點值為h（$\frac{1}{4}$）=5，h（2）=$\frac{17}{2}$
∴a＜4或a＞$\frac{17}{2}$
（2）∵f′（x）=e^1-x（1-x）
∴f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，e） 上單調遞減，
又f（0）=3，f（1）=4，f（e）=e^2-e+3＞3，
∴f（x）的值域為（3，4]，
記h（x）=g（x）+2x²=ax-lnx，m=f（x），
原問題等價于：?m∈（3，4]，存在唯一的x₀∈[e^-4，e]，使得h（x₀）=m成立．
∵h′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$，x∈[e^-4，e]
①當a≤$\frac{1}{e}$時，h′（x）≤0恒成立，h（x）單調遞減，由h（x）_max=h（e^-4）=ae^-4+4≥4，
h（x）_min=h（e）=ae-1≤3，解得：0≤a≤$\frac{1}{e}$．
②當a≥e⁴時，h′（x）≥0恒成立，h（x）單調遞增，h（x）_min=h（e^-4）=ae^-4+4＞4，不合題意，舍去．
③當$\frac{1}{e}$＜a＜e⁴時，h（x）在[e^-4，$\frac{1}{a}$]單調遞減，在[$\frac{1}{a}$，e]上單調遞增，
且h（e^-4）=ae^-4+4＞4，h（e）=ae-1，
要滿足條件則ae-1≤3，
∴$\frac{1}{e}$＜a≤$\frac{4}{e}$．
綜上所述：a的取值范圍是[0，$\frac{4}{e}$]．

點評 本題考查導函數與原函數單調性的關系，以及轉化思想．