Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-1與x=2處都取得極值．
（Ⅰ）求a，b的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對x∈[-2，3]，不等式f（x）+

3

2

c＜c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x）并令其=0得到方程，把x=-1和x=2代入求出a、b即可；
（2）求出函數(shù)的最大值為f（-1），要使不等式恒成立，既要證f（-1）+

3

2

c＜c²，即可求出c的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax+b，
由題意：

f′(-1)=0 f′(2)=0

即

3-2a+b=0 12+4a+b=0

解得

a=- 3 2 b=-6

∴f(x)=x3-

3

2

x2-6x+c，f′（x）=3x²-3x-6
令f′（x）＜0，解得-1＜x＜2；
令f′（x）＞0，解得x＜-1或x＞2，
∴f（x）的減區(qū)間為（-1，2）；增區(qū)間為（-∞，-1），（2，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞增；
在（-1，2）上單調(diào)遞減；在（2，+∞）上單調(diào)遞增．
∴x∈[-2，3]時，f（x）的最大值即為f（-1）與f（3）中的較大者.f(-1)=

7

2

+c；f(3)=-

9

2

+c
∴當(dāng)x=-1時，f（x）取得最大值．
要使f(x)+

3

2

c＜c2，只需c2＞f(-1)+

3

2

c，即：2c²＞7+5c
解得：c＜-1或c＞

7

2

．
∴c的取值范圍為(-∞，-1)∪(

7

2

，+∞)．

點評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，以及掌握不等式的證明方法．