Question

已知函數(shù)f(x)=

x2

x+a

(a∈R)，（1）判斷f（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)a=-1時(shí)，討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

（1）當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=

x2

x

，x≠0，f（-x）=-f（x）成立，所以f（x）是奇函數(shù)
當(dāng)a≠0時(shí)，f(-1)=

1

a-1

，f（1）=

1

1+a

，這時(shí)f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1）
所以f（x）不滿足f（x）=f（-x）及f（x）=-f（-x）對(duì)任意的x都成立，故函數(shù)是非奇非偶數(shù)
綜上可得，當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)
當(dāng)a≠0時(shí)，函數(shù)為非奇非偶數(shù)                                                  
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，f(x)=

x2

x-1

設(shè)x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

x12

x1-1

-

x22

x2-1

=

x12x2 -x12-x1x22+x22

(x1-1)(x2-1)

=

x1x2(x1-x2)-(x1+x2)(x1-x2)

(x1-1)(x2-1)

=

(x1-x2)[x1x2-(x1+x2)]

(x1-1)(x2-1)

 
當(dāng)x₁＜x₂∈（1，2]時(shí)，0＜x₁-1＜x₂-1≤1
則

x1-x2

(x1-1)(x2-1)

＜0，x₁x₂-（x₁+x₂）=（x₁-1）（x₂-1）-1＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
所以f（x）是區(qū)間（1，2]的單調(diào)遞減函數(shù)． 
當(dāng)x₁＜x₂∈（2，+∞）時(shí)，同理可證函數(shù)f（x）單調(diào)遞增
故函數(shù)f（x）是區(qū)間[1，2]的單調(diào)遞減函數(shù)，在（2，+∞）上單調(diào)遞增