Question

9．如圖所示，⊙O的直徑為6，AB為⊙O的直徑，C為圓周上一點，BC=3，過C作圓的
切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交于D、E．
（1）求∠DAC的度數(shù)；
（2）求線段AE的長．

Answer 1

分析 （1）由于直線l與⊙O相切，由弦切角定理知∠BCF=30°，即可求∠DAC的度數(shù)；
（2）利用Rt△ABE≌Rt△BAC，所以AE=BC，即可求線段AE的長．

解答 解：（1）由已知△ABC是直角三角形，AB=6，BC=3，∠CAB=30°．
由于直線l與⊙O相切，由弦切角定理知∠BCF=30°．
由∠DCA+∠ACB+∠BCF=180°，知∠DCA=60°，
故在Rt△ADC中，∠DAC=30°．…（5分）
（2）連結(jié)BE，如圖所示，∠EAB=60°=∠CBA，
則Rt△ABE≌Rt△BAC，所以AE=BC=3．…（10分）

點評 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查三角形全等的判定與性質(zhì)，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．