Question

4．已知a是實常數(shù)，函數(shù)f（x）=xlnx+ax²．
（1）若曲線y=f（x）在x=1處的切線過點A（0，-2），求實數(shù)a的值；
（2）若f（x）有兩個極值點，則求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線方程，代入點（0，-2），即可解得a；
（2）依題意：f′（x）=0 有兩個不等實根x₁，x₂（x₁＜x₂），設(shè)g（x）=lnx+2ax+1，求出導(dǎo)數(shù)，討論當a≥0時，當a＜0時，求得函數(shù)g（x）的單調(diào)性，令極大值大于0，解不等式即可．

解答 解：（1）由已知可得，f′（x）=lnx+1+2ax（x＞0），切點P（1，a），
f（x）在x=1處的切線斜率為k=1+2a，
切線方程：y-a=（2a+1）（x-1），
把（0，-2）代入得：a=1；                 
（2）依題意：f′（x）=0 有兩個不等實根x₁，x₂（x₁＜x₂），
設(shè)g（x）=lnx+2ax+1   則：g′（x）=$\frac{1}{x}$+2a（x＞0）
當a≥0時，有g(shù)′（x）＞0，所以g（x）是增函數(shù)，不符合題意； 
當a＜0時：由g′（x）=0得：x=-$\frac{1}{2a}$＞0，
列表如下：

x	（0，-$\frac{1}{2a}$）	-$\frac{1}{2a}$	（-$\frac{1}{2a}$，+∞）
g′（x）	+	0	-
g（x）	↗	極大值	↘

依題意：g（-$\frac{1}{2a}$）=ln（-$\frac{1}{2a}$）＞0，解得：-$\frac{1}{2}$＜a＜0，
綜上可得，-$\frac{1}{2}$＜a＜0．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和分類討論的思想方法，注意函數(shù)的單調(diào)性的運用，屬于中檔題．