Question

15．如圖，某流動海洋觀測船開始位于燈塔B的北偏東θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）方向，且滿足2sin²（$\frac{π}{4}$+θ）-$\sqrt{3}$cos2θ=1，AB=AD，在接到上級命令后，該觀測船從A點(diǎn)位置沿AD方向在D點(diǎn)補(bǔ)充物資后沿BD方向在C點(diǎn)投浮標(biāo)，使得C點(diǎn)于A點(diǎn)的距離為4$\sqrt{3}$km，則該觀測船行駛的最遠(yuǎn)航程為8km．

Answer 1

分析 利用條件2sin²（$\frac{π}{4}$+θ）-$\sqrt{3}$cos²θ=1，0＜θ＜$\frac{π}{2}$，求出θ，得出AD+DC=BC，求該觀測船行駛的最遠(yuǎn)航程，即求BC的最大值，當(dāng)且僅當(dāng)BC為△ABC的外接圓的直徑時(shí)，取得最大值，由正弦定理可得結(jié)論．

解答 解：∵2sin²（$\frac{π}{4}$+θ）-$\sqrt{3}$cos2θ=1，
∴2sin²（$\frac{π}{4}$+θ）-1=$\sqrt{3}$cos2θ，
∴-cos（$\frac{π}{2}$+2θ）=$\sqrt{3}$cos2θ，
∴sin2θ-$\sqrt{3}$cos2θ=0
∴2sin（2θ-$\frac{π}{3}$）=0，
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{6}$，
∴∠ABC=$\frac{π}{3}$，
∵AB=AD，∴AB=AD=BD，
∴AD+DC=BC，
求該觀測船行駛的最遠(yuǎn)航程，即求BC的最大值，當(dāng)且僅當(dāng)BC為△ABC的外接圓的直徑時(shí)，取得最大值，
由正弦定理可得2R=$\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=8．
故答案為：8．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)公式的運(yùn)用，考查正弦定理，解題時(shí)，求該觀測船行駛的最遠(yuǎn)航程，轉(zhuǎn)化為求BC的最大值，當(dāng)且僅當(dāng)BC為△ABC的外接圓的直徑時(shí)，取得最大值是關(guān)鍵．