Question

7．已知函數(shù)f（x）=x³-3x，若對(duì)于區(qū)間[-2，2]上任意兩個(gè)自變量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，則實(shí)數(shù)c的最小值4．

Answer 1

分析 由題意，對(duì)于定義域內(nèi)任意自變量都使得|f（x₁）-f（x₂）|≤c，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在定義域下的最值即可得解．

解答 解：f′（x）=3x²-3，
令f'（x）=0，即3x²-3=0．得x=±1．
當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間單調(diào)遞減；
因?yàn)閒（-1）=2，f（1）=-2，
所以當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，f（x）_max=2，f（x）_min=-2．
則對(duì)于區(qū)間[-2，2]上任意兩個(gè)自變量的值x₁，x₂，
都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=4，所以c≥4．
所以c的最小值為4，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 此題重點(diǎn)考查了數(shù)學(xué)中等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想把題意總轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在定義域下的最值問題，是一道中檔題．