已知函數(shù)g(x)=aln x·f(x)=x3 +x2+bx

(1)若f(x)在區(qū)間[1,2]上不是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)b的范圍;

(2)若對(duì)任意x∈[1,e],都有g(shù)(x)≥-x2+(a+2)x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(3)當(dāng)b=0時(shí),設(shè)F(x)=,對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a,曲線y=F(x)上是否存在兩點(diǎn)P,Q,使得△POQ是以O(shè)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為直角頂點(diǎn)的直角三角形,而且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上?請(qǐng)說明理由.

 

(1);(2);(3)詳見解析.

【解析】

試題分析:(1)先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),因?yàn)樵趨^(qū)間不單調(diào),所以導(dǎo)函數(shù)的值不恒大于或小于0,即函數(shù)的最大值大于0,函數(shù)的最小值小于0,即不單調(diào);

(2)根據(jù)條件化簡(jiǎn)得,,,求出, 的最小值即可確定的范圍,首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),確定單調(diào)性,求出最值;

(3)先假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)滿足題意,設(shè)出,則,從而由是以O(shè)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為直角頂點(diǎn)的直角三角形可建立關(guān)系式,分情況求解即可.

試題解析:(1)由

在區(qū)間[1,2]上不是單調(diào)函數(shù)

所以在[1,2]上最大值大于0,最小值小于0

4分

(2)由,得

,且等號(hào)不能同時(shí)取,,即

恒成立,即 6分

,求導(dǎo)得,,

當(dāng)時(shí),,從而,

上為增函數(shù),

. 8分

(3)由條件,,

假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn),滿足題意,則,只能在軸兩側(cè), 9分

不妨設(shè),則,且

是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形,,

(*),

是否存在等價(jià)于方程時(shí)是否有解.

①若時(shí),方程,化簡(jiǎn)得,此方程無(wú)解; 12分

②若時(shí),方程,即,

設(shè),則,

顯然,當(dāng)時(shí),,即上為增函數(shù),

的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719140412433460/SYS201411171914178436678638_DA/SYS201411171914178436678638_DA.072.png">,即,當(dāng)時(shí),方程(*)總有解.

對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù),曲線 上總存在兩點(diǎn),,使得是以為坐標(biāo)原點(diǎn))為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上. 14分

考點(diǎn):1.利用導(dǎo)數(shù)求最大,最小值;2.導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年江西省盟校高三第二次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

以下四個(gè)命題中:

①?gòu)膭蛩賯鬟f的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上,質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè),這樣的抽樣是分層抽樣;

②兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1;

③某項(xiàng)測(cè)量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布,則

④對(duì)于兩個(gè)分類變量X與Y的隨機(jī)變量k2的觀測(cè)值k來說,k越小,判斷“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大.以上命題中其中真命題的個(gè)數(shù)為( )

A.4   B.3 C.2    D.1

 

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如圖,函數(shù)(其中,,)與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)、滿足,,的中點(diǎn),,則的值為( )

A. B. C.8 D.16

 

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如圖,函數(shù)(其中,,)與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)、、滿足,,的中點(diǎn),, 則的值為____________

 

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年江西省盟校高三第一次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

如圖,一個(gè)四棱錐的底面為正方形,其三視圖如圖所示,則這個(gè)四棱錐的體積為( )

A、1 B、2 C、3 D、4

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年江西省宜春市高三考前模擬理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

在△ABC中,a、b、c分別為角A、B、C所對(duì)的邊,且(2b+c)cosA十a(chǎn)cosC =0。

(1)求角A的大;

(2)求的最大值,并求取得最大值時(shí)角B、C的大小.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年江西省宜春市高三考前模擬理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

如圖,在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD=DC=1,AB=3,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且直線BD相切的圓內(nèi)運(yùn)動(dòng),,則的取值范圍是( )

A. B. C. D.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年江西省宜春市高三考前模擬文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題

已知,且,則 = 。

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年江西省南昌市高三第二次模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

某公司生產(chǎn)產(chǎn)品A,產(chǎn)品質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)分為:指標(biāo)大于或等于90為一等品,大于或等于小于為二等品,小于為三等品,生產(chǎn)一件一等品可盈利50元,生產(chǎn)一件二等品可盈利元,生產(chǎn)一件三等品虧損10元.現(xiàn)隨機(jī)抽查熟練工人甲和新工人乙生產(chǎn)的這種產(chǎn)品各100件進(jìn)行檢測(cè),檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:

測(cè)試指標(biāo)

3

7

20

40

20

10

5

15

35

35

7

3

 

根據(jù)上表統(tǒng)計(jì)得到甲、乙兩人生產(chǎn)產(chǎn)品A為一等品、二等品、三等品的頻率分別估計(jì)為他們生產(chǎn)產(chǎn)品A為一等品、二等品、三等品的概率.

(1)計(jì)算甲生產(chǎn)一件產(chǎn)品A,給工廠帶來盈利不小于30元的概率;

(2)若甲一天能生產(chǎn)20件產(chǎn)品A,乙一天能生產(chǎn)15件產(chǎn)品A,估計(jì)甲乙兩人一天生產(chǎn)的35件產(chǎn)品A中三等品的件數(shù).

 

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