Question

7．已知p：?x∈[1，2]，x²-a≥0，q：方程x²+2ax+2-a=0有實數解，若p且q為真命題，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A． a≤-2或a=1
• B． a≤2或1≤a≤2
• C． a≥1
• D． -2≤a≤1

Answer 1

分析 先求出命題p，q下的a的取值：由命題p得，a≤x²，所以只要讓a小于等于x²的最小值即可；由命題q得，△≥0，這樣即可求得命題p，q下的a的取值．根據p且q為真命題，得到p，q都是真命題，所以對在命題p，q下求得的a的取值求交集即可．

解答 解：命題p：?x∈[1，2]，x²-a≥0，
∴a≤x²，
∵x²在[1，2]上的最小值為1，
∴a≤1；
命題q：方程x²+2ax+2-a=0有實數根；
∴△=4a²-4（2-a）≥0，解得a≤-2，或a≥1；
∵p且q為真命題，
∴p，q都是真命題．
∴a的取值范圍是$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{a≤-2或a≥1}\end{array}\right.$
即a∈{a|a≤-2，或a=1}．
故選A．

點評 本題考查不等式恒成立問題轉化為求二次函數在閉區(qū)間上的最值的求法，一元二次方程的根和判別式的關系，以及邏輯連接詞的定義，及由邏輯連接詞連接的命題的真假情況，考查運算能力和判斷能力，屬于中檔題．