Question

6．已知向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為30°，且$|{\overrightarrow a}|$=$\sqrt{3}$，$|{\overrightarrow b}|$=1．
（1）求$\overrightarrow a•\overrightarrow b$；
（2）求$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$的值；
（3）如圖，設(shè)向量$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a，\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b，\overrightarrow{AC}=\overrightarrow p，\overrightarrow{DB}=\overrightarrow q$，求向量$\overrightarrow p$在$\overrightarrow{q}$方向上的投影．

Answer 1

分析 （1）直接由已知結(jié)合數(shù)量積公式求解；
（2）利用$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}=（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}$，等式右邊展開后代入數(shù)量積得答案；
（3）由$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow，\overrightarrow{q}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow$，代入投影公式化簡即可．

解答 解：向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為30°，且$|{\overrightarrow a}|$=$\sqrt{3}$，$|{\overrightarrow b}|$=1．
（1）$\overrightarrow a•\vec b=|{\overrightarrow a}|•|{\vec b}|cos{30°}=\sqrt{3}×1×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{3}{2}$；
（2）$|{\overrightarrow a-\vec b}|=\sqrt{{{（{\overrightarrow a-\vec b}）}^2}}=\sqrt{{{\overrightarrow a}^2}-2\overrightarrow a•\vec b+{{\vec b}^2}}=\sqrt{3-3+1}=1$；
（3）∵$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow，\overrightarrow{q}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow$，
∴$\frac{\vec p•\vec q}{{|{\vec q}|}}=\frac{{{{\overrightarrow a}^2}-{{\vec b}^2}}}{{\sqrt{（\overrightarrow a-\vec b{）^2}}}}=\frac{3-1}{{\sqrt{{{\overrightarrow a}^2}-2\overrightarrow a•\vec b+{{\vec b}^2}}}}=\frac{2}{{\sqrt{3-3+1}}}=2$．

點(diǎn)評 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查向量模的求法，對于（3）的求解，需要掌握向量在向量方向上的投影的概念，是中檔題．