Question

17．已知函數(shù)f（x）=kx²-2x+4k．
（1）若函數(shù)f（x）在R上恒小于零，求實數(shù)k的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞減，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得k＜0，且判別式小于0，解不等式即可得到所求范圍；
（2）由題意分類討論分k=0，k＞0，k＜0，求出對稱軸，結(jié)合區(qū)間，即可得到不等式，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）在R上恒小于零得：$\left\{{\begin{array}{l}{k＜0}\\{△＜0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{k＜0}\\{4-16{k^2}＜0}\end{array}}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{k＞\frac{1}{2}或k＜-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得$k＜-\frac{1}{2}$．
（2）因為函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞減，
①若k＞0，則只需函數(shù)f（x）的對稱軸$\frac{1}{k}≥4$，解得$0＜k≤\frac{1}{4}$；
②若k=0，f（x）=-2x在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞減；
③若k＜0，則只需函數(shù)f（x）的對稱軸$\frac{1}{k}≤2$，顯然成立．
綜上可知實數(shù)k的取值范圍是：$k≤\frac{1}{4}$．

點評 本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查分類討論思想方法，注意運用單調(diào)性，區(qū)間和對稱軸的關(guān)系，考查運算能力，屬于中檔題．